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和“爱丽丝”玩一场数学游戏  

2010-04-07 12:53:00|  分类: 封面故事 |  标签: |举报 |字号 订阅

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和爱丽丝玩数学游戏 

 

和“爱丽丝”玩一场数学游戏 - 新知周刊 - 《新京报·新知周刊》
《爱丽丝漫游奇境记》中的下午茶段落,其实包含了一个重要的数学隐喻。 
 
新京报《新知周刊》
 
《爱丽丝漫游奇境记》及其续作《爱丽丝镜中奇遇记》是充满“极客味”的儿童文学作品,虽然它在150年前就已经写成,但是后来没有任何儿童文学作品在梦幻般的想象力上能和它匹敌,甚至连现代派诗人也自叹不如。后人的研究表明,该书作者刘易斯·卡罗尔并不是硬生生地想出那么多奇幻的情节。他能够达到其他文学家不能企及高度的原因是:他是个数学家!正是对数学、逻辑等学科知识的巧妙运用,让“爱丽丝”足以倾倒众生。

 

1 名与实

“叫什么”与“是什么”

 

“爱丽丝”系列小说中很多对话让人印象深刻。在《爱丽丝镜中奇遇记》中,爱丽丝和白骑士有这样一段对话,故事背景是白骑士要唱一段歌安慰爱丽丝———

 

白骑士说:“这首歌的名字被称作‘黑线鳕的眼睛’。”爱丽丝说:“这是这首歌的名字?对吧?”白骑士说:“不,你没理解,这是名字被称作的东西。真正的名字叫‘特老的老人’。”爱丽丝说:“你应当刚说过‘这首歌被称作’……”白骑士说:“不,那是完全不同的事儿!这首歌被称作‘路径和方法’,这是它唯一‘被称作’的东西!”爱丽丝完全被搞胡涂了,她说:“好吧,那这首歌到底是什么?”白骑士说:“我正要说呢,这首歌真正是‘在大门上坐坐’,它的调调是俺发明的。”

 

别以为这是作者在恶搞,它可是身为数学家的卡罗尔跟读者上的一堂逻辑课,不过是嬉皮笑脸讲出来的。它最浅显的意思是,一个实体的名字、名字的称呼、事物本身的称呼,与事物本身“是什么”可以完全不同。一首歌是“在大门上坐坐”,它被称做“路径和方法”,它的名字叫“特老的老人”,但这个名字还有一个“外号”叫“黑线鳕的眼睛”。被搞胡涂了?卡罗尔可不胡涂。

 

这个段落让各类和数学和逻辑打交道的人都会产生相关的联想。电脑程序员都知道,数据、数据的名称符号、数据存储的地址,以及存储地址的名称符号,是完全不同的东西。哲学家会看到“元语言”和它带来的“自我指涉”的问题。简单说,对于一个词,可以用另一个词来解释,最终没法再解释的就是“元语言”。既然元语言没法用别的语言解释,它的意义又是什么呢?白骑士的怪论,正指向了“元语言”的悖论。

 

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白骑士与爱丽丝。

 

2 三段论

小姑娘怎么成了蛇?

 

在《爱丽丝漫游奇境记》中有一只鸽子,认为爱丽丝是一种蛇。它的逻辑是:小姑娘吃蛋,蛇吃蛋,所以小姑娘是蛇。这是一个典型的三段论逻辑错误。三段论是形式逻辑间接推理的基本形式之一,由大前提和小前提推出结论。如“凡是姐姐都是女的”(大前提),“芙蓉是姐姐”(小前提),“所以芙蓉是女的”(结论),这叫三段论法或三段论式。其中,结论中的主项叫做小项,如上例中的“芙蓉”;结论中的谓项叫做大项,如上例中的“是女的”;两个前提中共有的项叫做中项,如上例中的“姐姐”。

 

三段论的一个规则是:如果中项在前提中一次也没有被断定过它的全部外延,那就意味着在前提中大项与小项都分别只与中项的一部分外延发生联系,这样,就不能通过中项的媒介作用,使大项与小项发生必然的确定的联系,因而也就无法在推理时得出确定的结论。“小姑娘是蛇”就是这样一个三段论:大前提,凡是蛇都是吃蛋的;小前提,小姑娘是吃蛋的;结论,所以小姑娘是蛇。

 

“吃蛋”是中项,前提中并没说“凡是吃蛋的都如何如何”,既没断定它的全部外延,所以不能通过中项来让“小姑娘”和“蛇”发生必然的确定的联系。所以,鸽子说“小姑娘是蛇”在逻辑上就是站不住脚的。

 

3 代数学

讽刺“四元数”

 

卡罗尔并不是一味地在书中表现“对数学的热爱”。数学史家认为,卡罗尔在书中写了那么多和数学、逻辑有关的疯狂怪异的情节,是对当时数学界的风气的一种暗讽。

 

在《爱丽丝漫游奇境记》中,疯帽匠问爱丽丝一个“谜语”:“为什么渡鸦像书桌?”美国数学杂志《数学达人》的编辑戴弗林(KeithDevlin)曾经表示:“渡鸦的谜语,以及《爱丽丝漫游奇境记》中很多其他的场景,是对19世纪数学越来越抽象化的一种暗讽。”戴弗林说,卡罗尔是一个非常传统、保守的数学家。但是在19世纪,人们开始发明各种奇怪的代数学,卡罗尔认为很多“新代数学”都说不同的东西是一样的东西,“正常思维”的人不会同意。

 

新代数学最大的成就之一是爱尔兰数学家汉密尔顿(WilliamHamilton)提出的数学体系“四元数”(Quaternions)。四元数的乘法不符合交换律,即X乘以Y不等于Y乘以X!如把四元数的集合考虑成多维实数空间的话,四元数就代表着一个四维空间。在19世纪,数学家并没有完全摆脱物理世界这个“拐棍”,所以汉密尔顿极力要想象“四元数”的物理意义,于是他在三维空间中又加入了“时间”一维。在这里“时间”其实是无辜的,它跟空间根本不是一回事。

 

为了讽刺“四元数”,卡罗尔写了一个“时间静止”的场景。与爱丽丝一起喝下午茶的疯帽匠、兔子与睡鼠生活在“时钟算术”的生活里,由于时间于他们始终停在了三点钟时刻,于是他们永远只能活在喝下午茶的时间里,没有时间洗杯子,他们便不停地在圆桌子边挪位置,不断循环往下挪一位。它的意思就是在“四元数”体系中抽离了“时间”这一维,剩下的三维就只能在原地旋转了。

后来,疯帽匠把睡鼠塞进了茶杯,终于解开了这个“死结”。戴弗林说,这是一个暗喻,消除掉一个参数,体系的复杂性就消解了。作者可能希望能够去掉“第四维”,让空间观念回到欧几里德的传统中。

 

4 几何学

婴儿逐渐变成猪

 

这种对19世纪数学的讽喻比比皆是。爱丽丝变小了,毛毛虫让她吃蘑菇变大。在这个场景中,爱丽丝一会儿变成9英尺高,一会儿变成3英尺高。卡罗尔在这里再次表现了他对传统的,连续变化的代数和几何学的向往。

 

牛津大学数学教授巴利(MelanieBayley)表示,在“公爵夫人”的场景中,卡罗尔暗讽了“连续性原理”。公爵夫人在喂她的婴儿,但当婴儿递到爱丽丝怀中的时候,婴儿变成了一头小猪。“连续性原理”是这样的:“假设一个几何图形经历连续变异,假设一些性质对它来说为真,那么只要这种变异处在某种范围内,那么这些性质对于这个图形来说始终为真。”

 

彭赛列说的是“几何图形”,卡罗尔半开玩笑地把它推广到严格的逻辑意义上。这样就会得到极端的结论。公爵夫人的婴儿经历了“连续的变化”,他的“性质”没有变,仍然是“四肢像海星一样伸出来”,“样子古怪”、“朝天鼻小眼睛”。爱丽丝甚至没有注意到他变成了一头小猪,直到“它发出猪一样的呼噜声”。

 

【小辞典】

 

●疯帽匠

在电影中,约翰尼·德普扮演的“疯帽匠”是主要人物之一。那么为什么帽匠会“疯”?因为在19世纪,帽匠经常需要用水银来补帽顶,而水银会对脑部造成很大伤害,表现包括急躁的性格,以及被称为“帽匠抖”的四肢抖动。从那时起,科学家们认识到了水银对人体的伤害。

 

●三月兔

除了“疯帽匠”以外,参加“疯狂茶会”的还有“三月兔”。三月里的兔子跟“疯狂”有生猛关系呢?野兔一般都是害羞的动物,但会在春天改变其行为模式。雄兔会在白天互相追逐,来显示自己的优越性。而雌兔则会“拳击”雄兔,表示它们未有准备交配,或是测试雄兔的决心。19世纪的人们认为,雄野兔在三月因为求偶而会“发疯”。但是1984年发表于《自然》杂志的一篇文章指出,野兔的繁殖季节很长,所以在其他月份的兔子,也会表现得有点“疯狂”。

 

●渡渡鸟

爱丽丝渐渐进入梦中后,她不知不觉来到了一个小堤岸,岸上有许多鸟儿,其中就有“渡渡鸟”。渡渡鸟原产于非洲毛里求斯,在人类尚未到达该岛时,它们就已长期在那里繁衍生息。因为该岛没有哺乳动物,所以它失去了飞行的能力,体重可达40多千克。16世纪,葡萄牙和荷兰人登陆该岛后,自然地把渡渡鸟当作大餐,它的数量急剧下降。据记载,人类最后一次目睹一只活的渡渡鸟是在1663年。1755年,英国牛津大学某博物馆的一次火灾中烧毁了最后发现的一幅渡渡鸟遗骨标本。但大量渡渡鸟的画像保留了下来,让人们能够缅怀这种被人类灭绝的神奇生物。

 

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《爱丽丝漫游奇境记》中出场的渡渡鸟原产于非洲毛里求斯。
 
编译/本报记者 刘铮

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